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二元機器人如何運作?

自古至今,解決「垂直問題」一直是極富挑戰性的課題(見右圖)。我們的解決方案大量利用了運算、光纖和微機電系統(MEMS)等領域的最新發展,讓我們能以低成本製造出功能與傳統旋轉式陀螺儀相仿的裝置。

深入理解图优化与g2o:图优化篇

边是什么呢?一条边连接着若干个顶点,表示顶点之间的一种关系。边可以是有向的或是无向的,对应的图称为有向图或无向图。边也可以连接一个顶点(Unary Edge,一元边)、两个顶点(Binary Edge,二元边)或多个顶点(Hyper Edge,多元边)。最常见的边连接两个顶点。当一个图中存在连接两个以上顶点的边时,称这个图为超图(Hyper Graph)。而SLAM问题就可以表示成一个超图(在不引起歧义的情况下,后文直接以图指代超图)。

那么,如果我们以$x_k$为优化变量,以$ \min\limits_x 二元機器人如何運作? F_k (x_k) = \| e_k \| $为目标函数,就可以求得$x_k$的估计值,进而得到我们想要的东西了。这实际上就是用优化来求解SLAM的思路。

你说的优化变量$x_k$,观测方程$z_k = h (x_k)$等等,它们具体是什么东西呢?

这个取决于我们的参数化(parameterazation)。$x$可以是一个机器人的Pose(6自由度下为 $4\times 4$的变换矩阵$\mathbf$ 或者 3自由度下的位置与转角$[x,y,\theta]$,也可以是一个空间点(三维空间的$[x,y,z]$或二维空间的$[x,y]$)。相应的,观测方程也有很多形式,如:

  • 机器人两个Pose之间的变换;
  • 机器人在某个Pose处用激光测量到了某个空间点,得到了它离自己的距离与角度;
  • 机器人在某个Pose处用相机观测到了某个空间点,得到了它的像素坐标;

在图中,以顶点表示优化变量,以边表示观测方程。由于边可以连接一个或多个顶点,所以我们把它的形式写成更广义的 $z_k = h(x_, x_, \ldots )$,以表示不限制顶点数量的意思。对于刚才提到的三种观测方程,顶点和边是什么形式呢?

  • 机器人两个Pose之间的变换;——一条Binary Edge(二元边),顶点为两个pose,边的方程为$ = \Delta T \cdot $。
  • 机器人在某个Pose处用激光测量到了某个空间点,得到了它离自己的距离与角度;——Binary Edge,顶点为一个2D Pose:$[x,y,\theta]^T$和一个Point:$[\lambda_x, \lambda_y]^T$,观测数据是距离$r$和角度$b$,那么观测方程为:
    \[ \begin
    \left[
    >
    \\

    \end>
    \right] = \left[ \begin>
    - x)>^2> + <<(<\lambda _y>- y)>^2>>>\\
    ^< - 1>>\left( <\frac<<<\lambda _y>- y>><<<\lambda _x>- x>>> \right) - \theta >
    \end>
    \right]
    \end\]
  • 机器人在某个Pose处用相机观测到了某个空间点,得到了它的像素坐标;——Binary Edge,顶点为一个3D Pose:$T$和一个空间点$\mathbf = [x,y,z]^T$,观测数据为像素坐标$z=[u,v]^T$。那么观测方程为:\[ \begin z = 二元機器人如何運作? C ( R \mathbf + t ) \end \]

(暗黑小萝卜 小眼神degined by Orchid Zhang)以后找不到工作我就去当插画算了……

图优化怎么做

  1. $e$ 函数在原理上表示一个误差,是一个矢量,作为优化变量$x_k$和$z_k$符合程度的一个度量。它越大表示$x_k$越不符合$z_k$。但是,由于目标函数必须是标量,所以必须用它的平方形式来表达目标函数。最简单的形式是直接做成平方:$e(x,z)^T e(x,z)$。进一步,为了表示我们对误差各分量重视程度的不一样,还使用一个信息矩阵 $\Omega$ 来表示各分量的不一致性。
  2. 信息矩阵 $\Omega$ 是协方差矩阵的逆,是一个对称矩阵。它的每个元素$ \Omega_$作为$e_i e_j$的系数,可以看成我们对$e_i, e_j$这个误差项相关性的一个预计。最简单的是把$\Omega$设成对角矩阵,对角阵元素的大小表明我们对此项误差的重视程度。
  3. 这里的$x_k$可以指一个顶点、两个顶点或多个顶点,取决于边的实际类型。所以,更严谨的方式是把它写成$e_k ( z_k, x_, x_, \ldots )$,但是那样写法实在是太繁琐,我们就简单地写成现在的样子。由于$z_k$是已知的,为了数学上的简洁,我们再把它写成$e_k(x_k)$的形式。

重复一遍,边的具体形式有很多种,可以是一元边、二元边或多元边,它们的数学表达形式取决于传感器或你想要描述的东西。例如视觉SLAM中,在一个相机Pose $T_k$ 二元機器人如何運作? 处对空间点$\mathbf_k$进行了一次观测,得到$z_k$,那么这条二元边的数学形式即为$$\left( ,,> \right) = <\left( <- C\left( + t> \right)> \right)^T><\Omega _k>\left( <- C\left( - t> \right)> \right)$$ 单个边其实并不复杂。

我们假设它的初始点为$_k>$,并且给它一个$\Delta x$的增量,那么边的估计值就变为$F_k ( _k + \Delta x )$,而误差值则从 $e_k(\widetilde x)$ 变为 $e_k(_k + \Delta x )$。首先对误差项进行一阶展开:

在熟练的同学看来,这个推导就像$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$一样简单(事实上就是好吧)。最后一个式子是个定义整理式,我们把和$\Delta x$无关的整理成常数项 $C_k$ ,把一次项系数写成 $2b_k$ ,二次项则为 $H_k$(注意到二次项系数其实是Hessian矩阵)。

请注意 $C_k$ 实际就是该边变化前的取值。所以在$x_k$发生增量后,目标函数$F_k$项改变的值即为$$\Delta F_k = 2b_k \Delta x + \Delta x^T H_k \Delta x. $$

我们的目标是找到$\Delta x$,使得这个增量变为极小值。所以直接令它对于$\Delta x$的导数为零,有:

所以归根结底,我们求解一个线性方程组:\[ \begin H_k \Delta x = -b_k \end \]

如果把所有边放到一起考虑进去,那就可以去掉下标,直接说我们要求解$$ H \Delta x = -b. $$

我们在讨论给目标函数$F(x)$一个增量$\Delta x$时,直接就写成了$F(x+\Delta x)$。但是老师,这个加法可能没有定义!

回想我们先前讲过的李代数知识。虽然李群 $SE(3)$ 和 $SO(3)$ 是没有加法的,但是它们对应的李代数 $\mathfrak(3), \mathfrak(3)$ 有啊! 数学一点地说,我们可以求它们在正切空间里的流形上的梯度!如果读者觉得理解困难,我们就说,通过指数变换和对数变换,先把变换矩阵和旋转矩阵转换成李代数,在李代数上进行加法,然后再转换到原本的李群中。这样我们就完成了求导。

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  • 发表于 2021-06-26 二元機器人如何運作? 10:40
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【時報記者任珮云台北報導】國際機器人協會IFR發布最新報告指出,全球工業機器人累計運作數量已達270萬台,創歷史新高。法人指出,在製造業現代化升級、數位轉型需求拉動下,未來3年新增安裝量將逐年成長,為機器人產業醞釀「估值再提升」的多頭行情! 第一金全球AI機器人及自動化產業基金經理人陳世杰指出,近幾年,機器人指數的本益比落在21~39倍區間、股價淨值比為2.5~3.3倍區間。在AI技術的幫助下,機器人走向更加智慧化,預期也會帶來「估值再提升」的行情。 根據IFR報告,去年雖然受到美中貿易戰影響,全球工業機器人新增安裝量只有37.3萬台,低於40萬台水準,但仍創歷年第3高紀錄;而且累計運作數量已達270萬台,創歷史新高。 由於今年新冠肺炎疫情爆發,造成工廠停工,加上美中衝突升溫,機器人新訂單增長不易,不過,隨著中國疫情已獲得控制,歐美地區也出現轉折,預期明年新訂單即可重拾成長動能,並在2022或2023年,重回疫情前水準。 陳世杰表示,過去5年,全球智慧製造、自動化生產發展迅猛,規模已擴增85%。去年來,面對美中衝突、新冠肺炎的考驗,機器人新訂單增長放緩,但累計運作數量仍舊不斷增加。 從數據結果顯示,機器人自動化趨勢沒有改變。陳世杰分析,美中衝突、疫情影響,刺激企業調整中國布局策略,加快製造業現代化升級、數位轉型的腳步,而機器人具備快速生產、客製化與成本效益3大優勢,滿足工廠轉型升級需求。 尤其人機協作機器人,搭配AI人工智慧軟體的彈性調整特色,提供多元化的生產方式,是去年唯一逆勢成長的類別,新增安裝量年成長11%。美林證券預估,未來5年,機器人的使用量將較目前倍增,吸引更多投資人青睞。